소성이론

■ 소성이론의 기초      소성이론은 훅의 법칙이 적용되는 범위를 넘어선 변형률 범위에서 배로의 변형 거동을 취급하는 학문이다. 소성변형   거동을 수학적으로 표시하는 것은 탄성변형일 때에 비하여 복잡하므로, 소성이론의 기본식들은 탄성론에서의 그것보다   복잡하다. 예를 들면, 소성변형은 탄성변형과 같이 가역적이 아니다. 즉 탄성변형은 초기와 최종의 응력상태에만 의존하 지만 , 소성변형은 최종상태까지 가는 변형의 경로에 의존한다는 점이 다르다. 탄성론에서는 탄성계수에 의해서 응력 변 형률을 관계지을 수 있지만, 소성론에서는 소성변형과 응력의 관계는 그와 같이 간단하게 측정될 수 있는 상수에 의하여 얻을 수 없다.

● 흐름곡선 그림 1. 연성재료의 대표적인 진응력-변형률 곡선      항복응력σ0까지는 훅의 법칙이 성립하고(이 σ0의 값은 변형률의 측정정확도에 크게 의존한다.), σ0를 지나면 금속은 소성변형한다. ε1 - ε2는 복원가능한 탄성변형률이다. 그런데 잔류 변형률이라 하여 그 전부가 소성변형률은 아니다. 금속 에 따라서, 또는 온도에 따라서 작은 양의 소성변형 ε1 - ε2가 시간이 지남에 따라 사라지는 경우도 있다. 이것을 의탄성거 동(anelastic behavior)라 부르고, 일반적으로 이러한 의탄성변형은 수학적인 소성이론에서는 무시된다.      진응력-진변형률 곡선을 통상 흐름곡선이라 부른다. 이 곡선을 수식으로 표시하는 것중에서 다음의 멱경화법칙(power   law of hardening)이 가장 널리 사용되고 있다.      σ = kεn 여기서 k는 ε = 0.1에서의 응력이고, n은 가공경화지수이며, 이 식을 log-log관계로 표시하였을 때의 기울기이다.

 

● 진응력과 진변형률      진변형률과 공칭변형률 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다.            진응력은 한 순간에서의 하중을 그것이 작용하는 단면적으로 나눈 값인데 비햐여 공칭응력은 그 하중을 초기의 단면 적으로 나눈 값이다. 탄성거동을 생각할 대는 그 구별이 필요없다. 그러나 소성변형을 다루는 경우에는, 특히 인장시험의 결과를 수학적으로 취급하는데 있어서는 그 구별이 중요하다. 진 응력은 σ로 표기하고 공칭응력은 s로 표기하기도 한다.          ,      진응력  ,      공칭응력         진응력은 공칭응력과 다음과 같은 관계를 가지고 있다.               체적일정 조건으로부터

● 연성금속의 항복조건 ◆ Von Mises조건      주응력이 어떤 combination이 critical값에 도달하면 항복한다. 즉, 둘째 응력불변량 J2가 어떤 일정값에 도달하면 항복이 일어난다.      단순인장일 경우를 생각해 보면      즉,      또, 순전단응력(torsion)일 때를 고려하면      인장일 때와 toersion일 때를 비교하면 이다. 즉, torsion일 때의 항복강도는 인장시의 항복강도보다 낮다.      Von Mises는 원래 이 조건식을 간단한 수학적 간단화를 위해서 제안하였으나, 후에 변형에너지가 어떤 일정한 값에 도달할 때 항복이 일어난다는 조건과 같은 의미를 가징다는 것을 증명하였다.

◆ Tresca 조건(최대전단응력 조건식)      이 항복 조건은 최대 전단응력이 단순 인장시험에서의 전단항복응력 값에 도달할 때 항복이 일어난다는 것이다.      즉, 이다. 단순인장일때는       이고, 순전단응력일때는       이다.      최대 전단 응력조건은 Von Mises조건에 비하여 수식적으로 간단하고, 그 대문에 공학적 설계에 많이 이용된다. 그러나 최대전단 응력 조건은 중간의 주응력을 고려하지 않고 있으며, 최대 주응력과 최소 주응력을 알아야 하는 어려움 이 있다. 또 최대전단 응력 조건의 일반형인 식은 Von Mises의 일반형인 식에 비하여 더욱 복잡하다. 따라서 대부분의 이론 연구에는 Von Mises의 조건을 선택하고 있다.

● 복합응력에서의 재료시험      단순인장과 비틀림을 제외한 응력상태에서 항복에 대한 연구는 주로 박육원통(thin-wall tube)에서 행해져 왔다. 그림 2. 인장과 비틀림을 받고 있는 박육원통      최대전단응력항복조건은 다음과 같이 주어진다.               변형에너지 항복이론은 아래와 같이 표시한다.               두 식은 다같이 타원식이다.

● 항복곡선 그림 3. 평면 응력상태에서 항복조건의 비교      이축 응력 조건에 대하여 Von Mises 항복 조건은 아래와 같이 표시된다.      이 것은 장방경이 이고 단반경이 인 타원의 식이다 그것을 도시하면 그림과 같이 된다. 이와 같은 곡선을 항복 곡선(yield locus)라고 부른다.      최대 전단 응력 조건에 대한 항복 곡선은 Mises의 그것 내에 들어간다. 두 항복 조건은 단순 인장과 등이축 응력 상태(σ1 = σ3)에서 일치한다.

● Levy - Mises 식 (이상적인 소성체)      탄성 변형률이 무시되는 이상적인 소성체에 대한 응력-변형률 관계를 흐름의 법칙 혹은 Levy - Mises 식이라 부른다. 소성변형에서는 부피변화가 없다고 가정하면 이다 단순인장의 경우 σ1 ≠ 0, σ2 = σ3 = 0 그리고 σm = σ1/3  이고, 이다 . 이것과 체적 불변의 조건으로부터 Levy - Mises의 일반식을 얻을 수 있다.      이 식은 변형이 진행하는 순간 하나의 주응력 방향에서의 편차응력에 대한 변형률 증분의 비는 일정하다는 개념을 의미한다. 여기서 effective stress 를 이라고 정의하고 effective strain 을 이라고 했을 때 Levy-Mises 식은 으로 표현할 수 있다