행렬의 곱셈

행렬의 곱셈

1. 행렬의 곱셈 → 여러 개의 행벡터와 열벡터의 곱셈을 한 개의 식으로 나타내는 것. = …㉠, = …㉡ ㉠, ㉡을 한 개의 식으로 나타내면 → = 2. A×B 가 정의될 조건 → (A 의 행의 길이) = (B 의 열의 길이) ☞ (m×l 행렬)×(l×n 행렬) = (m×n 행렬) ☞ A×B ≠ B×A, (AB)C = A(BC) → 곱셈의 교환법칙(×), 결합법칙 (O) 3. 행렬의 거듭제곱 → A×A = A2, A×A×A = A3

Problem1-4 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. A =, B = 일 때, AB-BA 를 구하시오.
   (답)

   1) AB ==
   2) BA ==
   3) AB-BA ==

   ☞ AB≠BA ⇔ AB-BA≠O → 곱셈에 대한 교환법칙은 성립하지 않음.

   
   
   
2. 임의의 2×2 행렬 X 에 대하여 AX = XA 가 성립하도록 하는 2×2 행렬 A 의 꼴은?

   ①

   ②

   ③

   ④

   ⑤

   　
   (답) ③

   1) X = , A = 라고 놓으면
   2) AX = =
   3) XA = =
   4) 임의의 X 에 대하여 AX = XA  이므로, 아래 네 개의 식은 x,y,z,u 에 대한 항등식
       ax+bz = ax+cy…㉠, ay+bu = bu+dy …㉡
       cx+dz = az+cu …㉢, cy+du = bz+du …㉣
   5) ㉠ → bz = cy 가 모든 y, z 에 대하여 성립하므로 b = c = 0
   6) ㉠ → ay = dy 이 모든 y 에 대하여 성립하므로 a = d
   7) b = c = 0, a = d 이면 ㉢, ㉣ 이 항상 성립    ∴ a = d, b = c= 0 이므로 A = 꼴 ^^

   ☞ 모든 x, y, z 에 대하여 ax+by+cz = 0 이 성립 ⇔ a = b = c = 0

3. A =일 때, 다음 중 AB = O 을 만족하는 B 가 아닌 것은?

   ①

   ②

   ③

   ④

   ⑤

   (답) ⑤ → =

   ☞ =

4. 다음 중 행렬의 성질로 옳은 것은?

   ① AB = BA	② A2A3 = A3A2	③ AB = O 이면 BA = O
   ④ A2 = O 이면 A = O	⑤ AB = O 이면 A = O 또는 B = O

   (답) ②

   1) ②  → A²A³ = (AA)(AAA) = (AAA)(AA) = A³A²
   2) ④ → 이므로 ④ 는 거짓 ^^
   

   1) AB≠BA → 행렬의 곱셈에서 교환법칙은 성립하지 않음
   2) (AB)C = A(BC) → 행렬의 곱셈에서 결합법칙은 성립
   3) AB = O 이면 A = O 또는 B = O (거짓)
   4) A2 = O 이면 A = O (거짓)

   
   
   

출처: http://www.mathteacher.pe.kr/hm_1.htm