직선의 방정식

§2. 직선의 방정식

　

 

1) 직선의 방정식

(1) 기울기 m, 절편 n인 직선의 방정식은 y=mx+n

(2) 기울기m, 한 점 (x₁,y₁)을 지나는 직선의 방정식은 y-y₁=m(x-x₁)

(3) 한 점 (x₁,y₁)을 지나고 x축에 평행한 직선은 y=y₁

     한 점 (x₁,y₁)을 지나고 y축에 평행한 직선은 x=x₁

(4) 두 점 (x₁,y₁), (x₂,y₂)을 지나는 직선의 방정식은     

    

     x₁=x₂일 때 x=x₁

(5) x절편 a, y절편이 b인 직선의 방정식은

설명)

  

(1) 기울기가 m, y절편이 n인 직선의 방정식

     직선의 기울기 m, 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 α라 할 때

      m=tanα이다.

     직선 위의 한 점을 P(x, y)라 하고  y 절편 n이므로

     y축과의 교점이 (0,n)이다.     

     따라서

      ∴y=mx+n

(2) 한 점(x₁,y₁)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식

     

　설명)

   구하는 직선의 y절편을 n이라 하면

   구하는 직선은 y=mx+n … ①

    (x₁,y₁)은 직선 위의 점이므로 ①에 대입하면 성립한다.

    y₁=mx₁+n

    n=y₁-mx₁ …  ②

   ② 를 ①에 대입하면  y=mx+y₁-mx₁

   즉 y-y₁=m(x-x₁)

　

(3)  한 점 (x₁,y₁)을 지나고 x축에 평행한 직선의 방정식

설명)  구하는 직선은  x축에 평행하므로 기울기가 0이다.

   따라서 구하는 직선은 y-y₁=0(x-x₁)

   ∴ y = y₁

　

한 점  (x1,y1)을 지나고 y축에 평행한 직선의 방정식

설명)   점 (x₁,y₁)을 지나고 y축에 평행한 직선은 y값에 관계없이

    x의 값이 x₁이 되는 것이라 생각할 수 있다.

   따라서 직선의 방정식은 x=x₁

   

(4) 두 점 (x₁,y₁), (x₂,y₂)를 지나는 직선의 방정식

설명)

 i) x₁≠x₂ 인 경우  

 

　두 점 (x₁,y₁), (x₂,y₂)를 지나는 직선의 기울기 m은

   

  구하는 직선은

     

  ii)  x₁=x₂인 경우 　

   이 직선은 y축에 평행한 경우이므로

   x=x₁

　

(5) x절편이 a, y절편이 b인 직선의 방정식

   구하는 직선은 x절편, y절편이 각각 a, b이므로  (a,0), (0,b)를 지난다.

   따라서 구하는 직선은

   

　

예1) 기울기 3, y 절편 -2인 직선의 방정식은 ?

       y=3x-2

예2) 점 (-2, 4)를 지나고 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 60°인 직선의 방정식은 ?

   

예3) 점(-3, 4)를 지나고 x축, y축에 평행한 직선을 각각 구하면 ?

  x축에 평행한 직선 y=4

  y축에 평행한 직선 x=-3

　

예4) 두 점(3, -2), (4, -3)을 지나는 직선의 방정식은 ?

    

   ∴ y = -x + 1

　

예5) 두 점 (4, -1), (4,-3)을 지나는 직선 방정식은 ?

  ∴ x = 4

　

예6) x절편이 2, y절편이 3 인 직선의 방정식은 ?

    

　

알아두면 편리합니다요!

직선의 방정식 ⇔ x, y에 대한 일차방정식

　

　

　

2) 두 직선의 평행과 수직

 

조건	y=mx+n y=m'x+n'	ax+by+c=0 a'x+b'y+c'=0	연립방정식의 근의개수
평행할 조건	m=m', n≠n'		근이 없다(불능)
일치할 조건	m=m', n=n'		근이 무수히 많다(부정)
수직할 조건	mm'-1	aa'+bb'=0	한 쌍의 근
한 점에서 만날 조건	m≠m'		한 쌍의 근

　

두 직선 y=mx+n, y=m'x+n' (표준형)

ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0 (일반형)에 대하여

　

(1) 평행할 조건

기울기가 같고, y절편이 다르다.

따라서 m=m', n≠n'

    

　

(2) 일치할 조건

기울기와 y절편이 같다.

따라서 m=m', n=n'

또 일반형에서 (1)과 같은 방법으로

(3) 한 점에서 만날 조건

기울기가 같지 않다.

따라서 m≠m'

또 일반형에서 (1)과 같은 방법으로

　

(4) 수직할 조건

두 직선 l₁ : y=mx+n과 l₂ : y=m'x+n'의 수직조건을 구해보자.

두 직선 l₁, l₂가 수직이라는 것은 두 직선 l₁, l₂에 각각 평행하고

원점을 지나는 두 직선 l'₁ : y=mx과 l'₂ : y=m'x가 수직하다는 것과 동치이다.

따라서 두 직선 l'₁ : y=mx과 l'₂ : y=m'x의 수직조건을 구하자.

두 직선 l_1, l₂ 와 직선 x=1의 교점을 각각 P,Q라하면 이므로 피타고라스 정리에 의하여

…  ①

그런데 P(1,m), Q(1,m')이므로 ①에서

(1+m²)+(1+m'²)=(m-m')²

이것을 정리하면 mm'=-1 …  ②

역으로 ②가 성립하면 ①이 성립하므로 피타고라스의 정리의 역에 의하여

이다. △POQ는 직각삼각형이다. 따라서 l'₁, l'₂이 서로 수직이므로, 직선 l₁, l₂ 은 서로 수직이다.

∴ l₁ ⊥ l₂  ⇔ mm'=-1

또 일반형에서 (1)과 같은 방법으로 (-a/b)×(-a'/b')=-1이므로 aa'+bb'=0

(6) 직선의 방정식은 x, y에 관한 일차 방정식이므로 두 직선의 교점의 개수는 x, y에 관한 연립 일차방정식의 해의 개수와 같다.

　

예1) 점 (2, 3)을 지나고 직선 y=-2x+6에 평행한 직선의 방정식을 구하라.

풀이) 구하는 직선은 직선 y=-2x+6에 평행하므로 기울기는 -2이다.

따라서 구하는 직선은 기울기가 -2이고 점(2, 3)을 지나는 직선이다.

 y-3=-2(x-2)

∴ y=-2x+7

　

　

예3) 점 (-1, 2)를 지나고 직선 3x+y-1=0에 수직인 직선의 방정식을 구하여라.

풀이) 직선 3x+y-1=0의 기울기는 -3이므로 이 직선에 수직인 직선의 기울기를 m이라고 하면

 

따라서 구하는 직선의 방정식은  

 

　

3) 점과 직선 사이의 거리

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점 (x₁, y₁)과 직선 ax+by+c=0사이의 거리 d는

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설명)

점 P(x₁, y₁)에서 직선 ㅣ: ax+by+c=0 … ①에 이르는 거리를 구하여 보자.

i) a≠0, b≠0일 때

 

직선 ①의 기울기는 -a/b이므로 P(x₁, y₁)을 지나고 직선 ①에 수직인 직선의 방정식은

즉, bx - ay - bx₁ + ay₁= 0 … ③

①×a + ③ ×b를 하여 정리하면 다음과 같다.

그러므로

④를 ②에 대입하면

따라서 구하는 의 길이는 다음과 같다.

④와 ⑤를 ⑥에 대입하여 정리하면

ii) a=0, b≠0 또는 a≠0, b=0일 때에도 직선 l이 y축에 수직이거나 x축에 수직이므로 ⑦은 성립한다.

　

예) 점(3,-2)와 직선 4x-3y+7=0 사이의 거리 d는