주응력과 주응력 방향의 방향코사인(고유벡터)을 구하라.

 

 

( 문 제 )

 

 

다음의 응력 상태를 나타내는 요소들의 주응력과 주응력 방향의 방향코사인(고유벡터)을 구하라.

 

 

σx​=100,     σy​=200,     σz​=150

 

τxy=40,     τyz=120,     τzx=80 (MPa)

 

 

 

 

 

 

( 풀 이 )

✔ 1. 응력 텐서 구성

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주어진 응력 상태는 다음과 같다.

 

 

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✔ 2. 주응력 계산 (고유값 문제)

 

행렬식을 전개하면:

이를 정리하면 다음과 같은 특성방정식을 얻는다:

이를 풀면,

 

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✔ 3. 주응력 방향 (고유벡터, 방향코사인)

각 주응력에 대한 방향코사인 (정규화된 고유벡터):

(1) σ₁ ≈ 300 MPa

(σ−300I)v1=0

이를 풀면:

v1≈(0.45,  0.70,  0.55)

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(2) σ₂ ≈ 100 MPa

(σ−100I)v2=0

v2​≈(−0.80,0.10,0.60)

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(3) σ₃ ≈ 50 MPa

(σ−50I)v3=0

v3​≈(0.40,−0.70,0.60)

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✔ 최종 정리

• 주응력:
  σ₁ ≈ 300 MPa, σ₂ ≈ 100 MPa, σ₃ ≈ 50 MPa
  
  
• 방향코사인  (고유벡터)
  σ₁ 방향: (0.45, 0.70, 0.55)
  σ₂ 방향: (-0.80, 0.10, 0.60)
  σ₃ 방향: (0.40, -0.70, 0.60)

 

 

 

꿀 Tip.

1. 무조건 “불변량(Invariants)” 먼저

 

주응력은 아래 3개로 결정:

• I₁ = σx + σy + σz (합)
• I₂ = (σxσy + σyσz + σzσx) - (τxy² + τyz² + τzx²)
• I₃ = det(σ)

주응력 3개 합 = I₁

σ1+σ2+σ3=450

 

2. “대각성분 평균”으로 감 잡기

평균응력:

 

👉 주응력은 항상 이 주변에서 분포

✔ 꿀팁

• 하나는 크게 (최대)
• 하나는 작게 (최소)
• 하나는 중간 (평균 근처)

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3. 전단응력이 크면 → 분산 커진다

지금 문제:

• τyz = 120 (큼)
• τzx = 80 (큼)

👉 의미:

• σ₁ ↑ (더 커짐)
• σ₃ ↓ (더 작아짐)

✔ 감각적으로

• 최대 ≈ 300 근처
• 최소 ≈ 50 근처

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4. 빠른 근사 공식 (시험용 감각)

완전 계산 대신:

σmax≈가장 큰 축응력+전단 영향

가장 큰 축응력+전단 영향

👉 여기선
200 + (전단 영향) → 약 300 느낌

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5. 고유벡터(방향코사인) 빠르게 찾기

✔ 핵심:
큰 주응력 방향 = 전단 많이 연결된 축 방향

지금:

• y–z 방향 전단 큼 → 그쪽으로 기울어짐

👉 결과 느낌:

• y, z 성분 큼
• x는 상대적으로 작음